Геометрия - одна из древнейших частей математики, изучающая пространственные отношения и формы тел. Из геометрии зародилась математика как наука. Люди с незапамятных времен использовали геометрические знания в быту. Геометрической формы были не только бытовые предметы, но и культовые. Геометрия - наука, давшая людям возможность находить площади и объемы, правильно чертить проекты зданий и машин. Таким образом, она является основной частью «фундамента», на котором строится другое не менее важное направление деятельности человека - архитектура. Архитектура - это соединение искусства, науки и производства. Метко называют архитектуру дочерью геометрии. Необходимость построения прямоугольника, нахождения его осей для установки ряда столбов, определение их размеров для заготовки материала и другие неизбежные в строительстве операции требовали усвоения определенных приемов построения архитектурной формы. Практика поколений строителей, опыт, передавшийся по наследству, способствовали сложению определенных правил, устойчивых приемов выполнения геометрических очертаний зданий на участке. В этой работе рассматривается важность применения геометрии в архитектуре Древней Руси. Основная цель – показать необходимость изучения этой науки (геометрии), которая дает возможность понять глубже такое направление в архитектуре как древнерусское зодчество, а также рассмотреть значение геометрических законов и закономерностей в зодчестве, их практическом применении при проектировании и постройке сооружений в Древней Руси. Источником для восполнения дефицита знаний и информации явилась литература о золотой пропорции - «Золотая пропорция и проблемы гармонизации систем» и «Золотая пропорция и человек» В.И.Коробко. Материал о пропорциональности форм и закономерностях русских мер был использован из книги А.В.Степанова «Объемно-пространственная композиция». Интересен материал о «математическом начале» формообразования в архитектуре и о закономерностях русских мер в книге В.А.Волошина «Математика и искусство» и «Загадки древнерусского чертежа» А.А.Тиц, причем в первой из них автор ставит главной задачей показать, что между словами математика и искусство действительно должен стоять союз «и». В научной литературе по исследованию памятников архитектуры Древней Руси выявлены общепризнанные образцы гармонического единства, лучшие создания человеческого гения: церковь Вознесения села Коломенского под Москвой (построена в 1532 г); церковь Покрова на Нерли (1165 - 1167 гг.). Среди памятников древней Руси, кроме указанных, к шедеврам архитектуры относятся: Успенская церковь Печорского монастыря в Киеве, Успенская церковь Елецкого монастыря в Чернигове. 2. Геометрия в древнерусских постройках.
2.1.Поиск геометрических форм будущего строения. 900 лет тому назад в Киево-Печерском монастыре была заложена знаменитая Успенская церковь. Повествование «о создании церкви Печерская»- уникальный документ, позволяющий за иносказательной, религиозной формой проследить реальную картину начального этапа строительства на Руси в 11-ом веке. Вычерчивание геометрических очертаний будущего здания, установление конструктивных размеров, определение толщины стен, возможных пролетов требовали знаний и опыта. Именно в процессе расчерчивания плана здания в натуральную величину на строительной площадке окончательно созревал и конкретизировался архитектурный замысел, уточнялись его детали и определялись размеры будущего сооружения. Черновые, рабочие изображения делались зодчим для себя, для уточнения своей мысли. Такие уточняющие изображения скорее всего могли выполняться на бересте, палочкой на земле (графические), лепиться из глины или вырезаться из дерева, (рис.1) Рис.1
Мастер продумывал всю систему «размерения», находил определенный метод геометрического или числового согласования величин. У него складывался план геометрического построения. Для особо важных построек на Руси выполняли модели, которые являлись образцами будущих храмов и фиксировали созревший замысел архитектора. Следующим этапом был переход к реальным очертаниям здания на строительной площадке, т.е. к чертежу в натуральную величину (рис2)
Разбивка контура здания - обязательный процесс, который выполняли и строители пирамид, и мастера Древней Руси. Выполняют его и современные производители работ. Все те же колышки с натянутыми веревками, как и несколько тысяч лет назад. Если в глубокой древности зодчий при разбивке плана на участке продолжал творческий процесс формообразования, конкретизировал замысел и гармонизировал соотношения частей здания, то строитель наших дней переносит с максимальной точностью уже окончательный результат творческой работы, ее итог, зафиксированный в форме чертежа. Формообразование шло параллельно со строительством. Графическая схема (рис.3) основных этапов, иллюстрирующая творческий процесс, наглядно показывает принципиальные различия графических средств в архитектурном формообразовании: Рис.3 а) Древняя Русь; б) – современность Рассчитав пропорциональные части здания, мастер давал команду каменщикам, которая сводилась к указанию, сколько мер мерить, и какую меру для этого использовать.
2.3 «Золотое сечение» в архитектуре Древней Руси.
Математики и историки, архитекторы и философы с разных позиций то возносили, то низвергали закономерности согласования архитектурной формы. Особое внимание привлекали модульная система и «золотое сечение». Примером может служить Успенская Елецкая церковь в Чернигове. Расчет размеров этой церкви позволил выявить, что композиционный замысел целиком связан с золотым сечением. На рисунке 4 приведен композиционный замысел Елецкой церкви. Рис.4
Длина храма 26,57м относится к ширине 16,24м в отношении золотого сечения(26,57/16,24=1,636≈d). Ширина храма относится к длине ядра 10,06м как16,24/10,06=1,614≈d. В пропорции золотого сечения находятся и многие другие конструктивные размеры элементов и частей церкви:
Размеры многих храмов Новгорода также определены в частях и в целом как соразмерности золотого сечения (рис.5). Рис.5
Интересна история реконструкции Великой Печорской церкви (рис.6). Построенная в 1073 году, эта церковь была разрушена фашистами в годы войны. Однако, используя сохранившееся свидетельство и сопоставляя основные размеры Печерской церкви с Елецкой церковью в Чернигове, все древние части которой сохранились, удалось осуществить реконструкцию объёмов Печерской церкви. Установлено, что основой пропорционального строя Печерской церкви является отношение 2/√5 , которое хорошо видно на фасаде и разрезе реконструкции размерной структуры церкви: Рис.6
Отношение 2/√5 также можно выразить через золотую пропорцию: что свидетельствует о её связи с основными размерами церкви. Храм Василия Блаженного в Москве - это еще один пример, показывающий, насколько органично золотое сечение входит в архитектурные пропорции (рис.7) За «целое» а=1 принята высота храма. Пропорции храма определяются восемью членами ряда золотого сечения:1, ф, ф2 ,ф3 ,ф4 ,ф5 ,ф6 ,ф7. Рис.7 Многие из членов ряда неоднократно повторяются в пропорциях этого затейливого архитектурного сооружения, но всегда благодаря свойству золотого сечения, части сойдутся в целое, т.е. ф +ф2=1,ф2+ф3=ф и т.д. Таким образом, свойство золотого сечения делает эту геометрическую пропорцию единственной и неповторимой. Серьезное изучение методов формообразования в древнерусском зодчестве было начато К. Н. Афанасьевым. В результате обобщения аналитических данных он пришел к выводу, что в русских церковных постройках XI-XIII вв. «размер центрального купола или подкупольного квадрата неизменно является начальным звеном цепи построения соразмерностей. Подкупольный квадрат, определявший самый ответственный конструктивный и композиционный элемент церкви - центральную главу, мог являться и часто являлся основой для геометрических построений. Летопись, о начале строительства Успенской церкви, приводит числовые данные: «размерив поясом тем златым, 20 в ширину и 30 в дълину, а 30 в высоту, стены с веръхом 50». Если бы основой был размер центрального купола, то, надо полагать, летописец не забыл бы на него указать, поскольку церковная глава являлась идейно-художественным центром композиции. Достоверность сведений подтверждается фактическим соотношением ширины и длины прославленного храма, равным двум третям. Известно, что Успенский храм Киево-Печерского монастыря, служил образцом для многих культовых построек. Не случайно во многих храмах, возведённых в различных княжествах, отношения ширины к длине по наружному или внутреннему контуру стен которых равно 2/3. Вероятно, мастера прежде всего выдерживали именно это определяющее для сооружения соотношение. Вычерчивание плана здания на строительной площадке было связано с рядом известных операций построения геометрических форм и установления абсолютных размеров. Методы установления стабильных соотношений между величинами постройки были связаны и с системой измерения. 2.4 Математические закономерности русских мер.
В разные времена и у разных народов эталоны длины были в принципе одинаковыми: они происходили от человеческого тела, так называемые антропоморфные меры. В человекоподобных мерах заложены пропорции, отобранные самой природой, такие, как деление пополам, золотое сечение, функция золотого сечения. Начало антропоморфным мерам дает рост человека а. Основной строительной мерой в Древней Руси была сажень (мерная или маховая-См), равная размаху рук в стороны (рис.8). Изучение пропорций человеческого тела показывает, что См=1,03а. Другой важной мерой являлся двойной шаг, который равен высоте туловища от стоп до основания шеи. Установлено, что если стопу человека принять за единицу измерения - фут (греческий фут=30,89 см), то рост человека составит 6 футов, а голова вместе с шеей-1фут. Следовательно, на оставшуюся часть тела приходится 5 футов. Таким образом, двойной шаг, или малая сажень, Ст=5/6 а =0,833а. Малая сажень Ст относится к мерной См как сторона квадрата к его диагонали без малой стороны: Cт/См=0,833а/1.03а=0,809=1/√5-1 Рис.8 Отношение мерной полусажени -См/2 к малой сажени -Ст. равно золотому сечению: См/2 : Ст = √5-1 :2 =ф. В установленном самой природой отношении полуразмаха рук (RS) к высоте туловища (LQ), т. е. в отношении двух основных мер Древней Руси, заключено золотое сечение, столь распространенное в русской архитектуре. Построив квадраты на малой Ст и мерной См саженях и проведя в них диагонали, получаем еще два типа саженей: косую сажень Кн=PL=√2Cт и великую косую сажень Кв=АN=√2Cм. Существовала еще одна сажень, получаемая геометрическим путем - сажень без чети Сч, равная диагонали АМ половины квадрата, построенного на мерной сажени См. У этой сажени не было соответствующей косой пары, поэтому её называли саженью без четы или чети. Из треугольника АСМ следует, что Сч=√5/2См, откуда Сч:Cм=√5:2, т.е. отношение сажени без чети Сч к мерной сажени См равно функции золотого сечения. Б.А. Рыбаков обосновал математические закономерности русских мер длины в ХI-XVвв. Оказалось, что в основе древнерусских мер лежит иррациональное отношение стороны квадрата к его диагонали. Меры составляют ряд, образуемый системой вписанных квадратов. Эти отношения, связанные с построением одной из самых распространенных и часто наделявшейся особыми магическими качествами фигуры-квадрата, не могли не оказать влияния и на приемы пропорционирования мастеров, на способы «размерения основания». Еще в 1940 г. обратили внимание на широкое использование в деревянном зодчестве пропорций, основанных на квадрате и его производных. Прекрасным примером служит русский традиционный рубленный дом (рис.9) Рис.9 Метод определения взаимосвязи размеров был удобен, так как был связан и с процессом размерения. Пользуясь двумя взаимосвязанными размерами: простой (152 см) и косой (216 см) саженью, малым (38 см) и большим (54 см) локтем, зодчий мог легко получать размеры, относящиеся друг к другу, как сторона к диагонали квадрата. Практически это могло осуществляться с помощью плотничьего наугольника с углами в 90° и 45° и со сторонами, равными одному из взаимосвязанных размеров простой сажени, локтю, пяди (рис.9). Равносторонний наугольник позволял получить другую пору взаимосвязанных размеров. Если сторона равностороннего треугольника равнялась мерной «сажени без чети» (без пары) (197,2 см), то его высота была равна мерной сажени (176,4см). Отложив одно и тоже число раз меньшую и большую стороны прямоугольного наугольника, зодчий получал размеры, связанные отношением стороны квадрата к его диагонали. А применяя равносторонний треугольник, он получал более сложную взаимосвязь величин с отношением √5/2 (сторона треугольника к его высоте). Рис.9 Взаимосвязь древнерусских мер длины с распространенными прямоугольными треугольниками, применяемые и в современном черчении
Следовательно, парные размеры саженей были связаны с прямоугольными треугольниками, углы которых равнялись либо 45°, либо 30° и 60°, Т. е. треугольниками, которыми мы пользуемся до сих пор.
2.5. Магический квадрат и его применение в архитектуре древними мастерами.
Широкое использование квадрата и его производных имело в древнерусском зодчестве глубокие корни. Древние изображения вписанных друг в друга квадратов с четырьмя линиями, соединяющими их стороны в средней части называют вавилонами (рис.10) Рис.10 Вавилоны – символические схемы «зодческой мудрости», связанные с приемами разбивки планов зданий Геометрические свойства квадратного и прямоугольного вавилонов позволяли, не прибегая к вычислениям, получать пропорционально связанные ряды величин, строить правильные треугольники и шестиугольники, равновеликие по площади квадрату. Древнерусские мастера - использовали в своей работе взаимосвязанные меры длины. В основе взаимосвязанных мер длины лежали соотносимые величины системы двух квадратов. Геометрические построения на базе двух квадратов позволяют получить почти все распространенные в строительстве пропорциональные отношения, в том числе и характерные для древнерусской метрологии (простая сажень к косой – 1:√2 или мерная сажень к «сажени без чети» - 2 :√5) (рис.11) Рис.11 Квадратный и прямоугольный вавилоны и их основные геометрические зависимости Для древнего мастера система пропорционирования была не каноном, не догмой, а методом работы, способом достижения гармонического единства произведения. Рис.12 На рисунке .12 видно, что гармония храма Покрова Богородицы на Нерли (построена в 1165г.) подчинена строгим математическим законам пропорциональности. Церковь построена на пропорциях функции золотого сечения, что дает в плане три вписанных друг в друга «живых квадрата», отношение сторон которых √5:2 определяет пропорциональный строй храма. В 1532г. в царской усадьбе-селе Коломенском под Москвой было завершено строительство церкви Вознесения (рис.13). Этот храм называют архитектурным гимном геометрии. Соразмерность храма с предельной ясностью определены двумя парными мерами: горизонтальные - малой саженью Ст и косой саженью Кн (Ст:Кн=1:√2), вертикальные - малой саженью Ст и мерной саженью См(Ст:См=1:(√5-1) и их комбинацией дающей золотое сечение. Основной объем храма составляет 20 -гранная призма. Её высота равна стороне исходного квадрата а. Таким образом, ядром основного объема является куб-четверик а*а*а(а=10Ст). Вместе с подклетом высота 20-гранной призмы равна диагонали исходного квадрата а√2=10√2Ст=10Кн. Итак, сторона и диагональ исходного квадрата полностью определяют вертикальные размеры основного объема. 20-гранная призма переходит в 8-гранную призму-восьмерик, который вписан в куб d*d*d(d=9Cт) и который переходит в 8-гранный шатер, высота которого h=d√2=9√2Cт=9Кн т.е. шатер вписан в прямоугольный параллелепипед 9Ст*9Ст*9Кн. Общая высота церкви равна 4а=40Ст т.е. также выражается через исходный размер а. Пропорции храма Вознесения определены двумя математическими закономерностями. Пропорцией Ст:Кн=1:√2 определяющей основание, а также пропорцией золотого сечения: См :2Ст=ф. При этом соблюден принцип встречного движения пропорций. В этом столкновении двух противоборствующих начал - горизонтального и вертикального - и заключается архитектурный образ церкви Вознесения. Рис.13 3.Заключение Итак, при постройке, как современных зданий, так и зданий прошлых веков необходимы знания геометрии. Архитектурное формообразование с помощью геометрических построений сохраняется во всех случаях. Эта проблема стояла перед зодчими Ярослава Мудрого, не исчезла она и сегодня. Разница заключается лишь в том, происходит ли процесс «размерения пространства» на строительной площадке или перенесен в мастерскую и выполняется на бумаге. Приемы формообразования, установления оптимальных соотношений частей постройки вырабатывались в течение вековой строительной практики в результате повседневных измерительных и разбивочных операций. Эти приемы построения архитектурной формы основывались на знаниях прикладной геометрии и проверялись опытом многих поколений строителей. Изучая литературу к данной работе, интересно было узнать, что знания прикладной геометрии использовались на практике не только древними строителями, а также иконописцами, и мозаичистами. На стройке строительную артель сменяли мозаичисты, расчерчивавшие на основании пола геометрическую схему будущего узора, и иконописцы, которые на стенах графили композицию фресок. Древние мастера пользовались геометрическими построениями, вычерчивали квадраты, делали кружалом окружности, делили линии на несколько частей, строили прямые углы, изображая узор орнамента или намечая контуры здания. Изучая использованную литературу для подготовки данной работы, было приобретено много интересных знаний из истории архитектуры и геометрии, что еще раз убеждает в многогранности применения этой науки (геометрии) и необходимости ее изучения. Не вызывает сомнения важность применения закономерностей и законов геометрии: золотого сечения, симметрии, свойств квадрата, соотношения пропорциональности в зодчестве различных построек в Древней Руси. Список использованной литературы:
1) Аксенова М. «Энциклопедия для детей Аванта+. Том 11» 1998 г.
2) БЭКМ – электронная энциклопедия. «Кирилл и Мефодий»
3) Волошинов А. В. «Математика и искусство» 2000 г. «Просвещение»
4) Коробко В.И., Коробко Г.Н.; М., АСВ Издательство, 2002 г. «Золотая пропорция и человек»
5) Коробко В.И.; Москва, Издательство Ассоциации строительных вузов,1998г. «Золотая пропорция и проблемы гармонии систем»
6) Степанов; М., «Архитектура-С» 2003 г. «Обьемно пространственная композиция»
7) Тиц А.А.; М., Стройиздат, 1978 г. «Загадки древнерусского чертежа»
8) Хинн О.Г. под общ. Ред. ООО «Издательство АСТ-ЛТД» 1998 г. «Я познаю мир: математика»
9) Якушева Г. «Справочник школьника: математика» Филологическое общество: «Слово» 1995 г.
